سنتناول في هذا المقال كل ما يتعلق بالأعداد الأولية، بدءًا من تعريفها وصولاً إلى أهميتها في الرياضيات والحياة اليومية.
منذ اليونان القديمة، كانت الأعداد الأولية موضوع اهتمام، فهي تعتبر مهمة نظرا لخصائصها الرياضية الفريدة التي تجعل منها مثالية للاستخدامات التكنولوجية.
 |
| الأعداد الأولية تعريفها، خصائصها وأهميتها |
كان عالم الرياضيات اليوناني اقليدس، أول من اقترح وأثبت مفهوم الأعداد الأولية، حيث بيّن أن هناك قائمة لا نهائية من الأعداد الأولية.
بعد بضعة قرون ابتكر عالم بارع يُدعى إراتوستينس نظرية متطورة حول الأعداد الأولية لتحديد جميع الأعداد الأولية حتى عدد صحيح موجب محدد. تُعرف هذه الطريقة باسم غربال إراتوستينس.
ما هو العدد الأولي؟
العدد الأولي هو عدد صحيح موجب لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى الواحد الصحيح. هذا يعني أن العدد الأولي هو عدد صحيح موجب له قاسمان موجبان فقط، هما 1 والعدد نفسه.
لنأخذ عدد 7 كمثال. قواسمه هي 1 و 7 فقط. في هذه الحالة، يكون العدد صحيحا أوليا. ومع ذلك، إذا نظرنا إلى الرقم 8، حيث قواسمه هي 1 و 2 و 4 و 8، فهو ليس عددًا أوليًا.
عند النظر إلى العدد 1، نجد أن له قاسمًا واحدًا فقط وهو 1. لذلك، فهو ليس عددًا أوليًا، لأن الأعداد الأولية يجب أن يكون لها قاسمان.
يجب أن تعلم أيضًا أنه وفقًا لنظرية الأعداد، تُنص فرضية الأعداد الأولية التوأم على وجود عدد لا نهائي من أزواج الأعداد الأولية التي تختلف بمقدار اثنين، أو ما يُسمى بالأعداد الأولية التوأم. إليك بعض الأمثلة:
3 و 5
5 و 7
11 و 13
17 و19
كيف تُستخدم الأعداد الأولية في العالم الحقيقي؟
من الوهلة الأولى تبدو الأعداد الأولية غير مرتبطة بالحياة اليومية، ولكنها في الواقع تلعب دورًا في العديد من التطبيقات العملية مثل البنى الرقمية، والبرمجيات، وحتى في تصميم بعض الألعاب.
تستخدم الأعداد الأولية في العالم الحقيقي بطرق متنوعة:
- تستخدمها حشرات الزيز لتتبع دورة حياتها.
- تستخدمها شاشات العرض لتحديد شدة ألوان البكسل.
- تستخدمها الشركات المصنعة لإزالة التوافقيات من منتجاتها.
- تستخدم في مجال الأمن السيبراني، نظرًا لكونها غير قابلة للاختزال.
بغض النظر عن معرفتك بالأعداد الأولية، فهي تُستخدم في الحياة اليومية وتُشكل جزءًا مهمًا من حضارتنا، لأنها مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بنسيج الكون.
قائمة الأعداد الأولية
يوجد بالضبط 25 عددًا أوليًا بين الأعداد الصحيحة من 1 إلى 100. إليك قائمة كاملة بالأعداد الأولية من 1 إلى 100:
الأعداد الأولية بين 1 و 20
2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19
الأعداد الأولية بين 21 و 40
23، 29، 31، 37
الأعداد الأولية بين 41 و 60
41، 43، 47، 53، 59
الأعداد الأولية بين 61 و 100
61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، 97
 |
| قائمة كاملة بالأعداد الأولية من 1 إلى 100 |
ما هي خصائص الأعداد الأولية؟
- الأعداد الأولية هي أعداد صحيحة أكبر من 1.
- لها عاملان فقط، هما 1 والعدد نفسه.
- العدد الأولي الزوجي الوحيد هو 2.
- يمكن التعبير عن جميع الأعداد كحاصل ضرب أعداد أولية.
- جميع أزواج الأعداد الأولية هي أعداد أولية فيما بينها.
- باستثناء 2، جميع الأعداد الأولية هي أعداد فردية إلى ما لا نهاية.
الأعداد الأولية الشهيرة
أعداد ميرسين
أعداد ميرسين هي شكل خاص من الأعداد الأولية، لها تطبيقات خاصة في الحوسبة وتوليد الأعداد العشوائية.
الأعداد الأولية التوأم
الأعداد الأولية التوأم هي زوج من الأعداد الأولية التي يكون الفرق بينهما 2، مثل 11 و13.
النظريات المهمة المتعلقة بالأعداد الأولية
نظرية الأعداد الأولية
تنص هذه النظرية على أن الأعداد الأولية تتوزع بشكل تقريبي وفق دالة اللوغاريتم الطبيعي، مما يعني أن توزيعها يزداد تباعدًا كلما زادت الأعداد.
فرضية ريمان
فرضية ريمان هي واحدة من أهم المسائل غير المحلولة في الرياضيات، وهي تتعلق بتوزيع الأعداد الأولية وعلاقتها بدالة زيتا.
الأعداد الأولية والأعداد الأولية فيما بينها
من المهم التمييز بين الأعداد الأولية والأعداد الأولية فيما بينها. الأعداد الأولية فيما بينها هي أزواج من الأعداد ليس لها عوامل مشتركة سوى 1.
ليس بالضرورة أن تكون الأعداد الأولية فيما بينها أعدادًا أولية، ولكن أي عددين أوليين يكونان أوليين فيما بينهما.
فيما يلي أمثلة على الأعداد الأولية فيما بينها:
5 و 9
6 و 11
18 و 35
ما هي طرق إيجاد الأعداد الأولية؟
هناك عدة طرق لإيجاد الأعداد الأولية. دعونا نلقي نظرة على طريقتين مختلفتين.
الطريقة الأولى:
في الصيغة "n² + n + 41"، استبدل n بعدد صحيح. يمكن إيجاد جميع الأعداد الأولية الأكبر من 40 باستخدام هذه الصيغة. دعونا نتحقق من خلال استبدال بعض الأعداد الصحيحة.
0² + 0 + 41 = 0 + 41 = 41 ; حيث n = 0
1² + 1 + 41 = 2 + 41 = 43 ; حيث n = 1
2² + 2 + 41 = 6 + 41 = 47 ; حيث n = 2
إذا واصلت في هذا الاتجاه، ستتمكن من حساب جميع الأعداد الأولية الأكبر من 40.
الطريقة الثانية:
باستثناء 2 و 3، يمكن كتابة أي عدد أولي بالصورة: "6n + 1" أو "6n - 1". لذلك، إذا كان لديك عدد ليس 2 أو 3، فحاول التعبير عنه بالصورة "6n + 1" أو "6n - 1" لمعرفة ما إذا كان أوليًا أم لا.
1 - 6(1) = 5
6(1) + 1 = 7
1 - 6(2) = 11
13 = 6(2) + 1
نعلم الآن أن 5 و 7 و 11 و 13 هي أعداد أولية.
ما هو أكبر عدد أولي؟
أكبر عدد أولي معروف حتى الآن هو 2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹ - 1. تم الإعلان رسميًا عن اكتشافه في 21 أكتوبر 2024 على موقع GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).
 |
| أكبر عدد أولي معروف حتى الآن |
الخلاصة
الأعداد الأولية ليست مجرد أرقام في الرياضيات، إنها حجر الأساس للعديد من النظريات والتطبيقات التي تؤثر في حياتنا اليومية بشكل مباشر وغير مباشر. من الرياضيات إلى التشفير وحتى في الفنون والثقافة، الأعداد الأولية تلعب دورا لا يمكن تجاهله.
التسميات
تعريف الرياضيات