المجسمات الفضائية في الرياضيات هي عبارة عن أشكال هندسية ثلاثية الأبعاد، تتضمن أبعادٌ هي الطول والعرض والارتفاع، وتجدر الإشارة إلى أن المجسمات تشغل مساحة معينة ولها حجم ثابت.
قواعد الحجم و المساحة في الهندسة الفضائية
سنقدم لكم طريقة حساب الحجم و المساحة مع بعض التطبيقات لكل شكل من الأشكال الهندسية التالية:
- المكعب
- متوازي المستطيلات
- الكرة
- الأسطوانة
- المخروط
المكعب
 |
| المكعب |
قاعدة حساب حجم المكعب
V = a^3
حيث إن:
V: حجم المكعب
a: طول ضلع أحد وجوده المكعب.
تطبيق:
إذا كان لدينا مكعب، طول جميع أضلاعه 2 سم، يكون حجمه:
V = 2^3 = 8 سم³
قاعدة حساب مساحة سطح المكعب
S = 6a^2
حيث إن:
S: مساحة سطح المكعب
a: طول ضلع المكعب
تطبيق:
إذا كان لدينا مكعب طول جميع أضلاعه 3 سم، تكون مساحة سطحه.
S = 6 × (3^2) = 54 سم²
متوازي المستطيلات
متوازي المستطيلات هو شكل هندسي ثلاثي الأبعاد يتكون من ستة وجوه مستطيلة، حيث يكون كل وجهين متقابلين متوازيين و متساويين في المساحة.
يمتاز هذا الشكل بأن جميع زواياه قائمة، أي تساوي كل منها 90 درجة.
يُعتبر متوازي المستطيلات من الأشكال الأساسية في الهندسة الإقليدية.
 |
| متوازي المستطيلات |
يحسب حَجْم متوازي المستطيلات من خلال ضرب أبعاده الثلاثة: الطول والعرض والارتفاع.
قاعدة حساب حجم متوازي المستطيلات
V = a.b.h
حيث إن:
V: حجم متوازي المستطيلات
a: طول متوازي المستطيلات
b: عرض متوازي المستطيلات
h: ارتفاع متوازي المستطيلات
تطبيق:
إذا كان لدينا متوازي المستطيلات بطول 5 سم، وعرضه 3 سم، و ارتفاعه 2 سم، يكون حجمه.
V = 5 × 3 ×2 = 30 سم³
قانون حساب مساحة سطح متوازي المستطيلات
S = 2ab + 2ah + 2bh
حيث إن:
S: مساحة سطح متوازي المستطيلات
a: طول متوازي المستطيلات
b : عرض متوازي المستطيلات
h: ارتفاع متوازي المستطيلات
تطبيق:
إذا كان لدينا متوازي مستطيلات بطول 5 سم، وعرضه 3 سم، وارتفاعه 2 سم، تكون مساحته:
S = 2 × 5 × 3 + 2 × 5 × 2 + 2 × 3 × 2 = 30 + 20 + 12 = 62 سم²
الكرة
الكرة هي جسم هندسي ثلاثي الأبعاد، يتسم بسطح منحني ومتناسق، حيث تكون جميع النقاط على سطحه على نفس البعد من نقطة مركزية تُعرف بالمركز. تُستخدم الكرة في العديد من المجالات والتطبيقات، بدءًا من الرياضة، وصولاً إلى العلوم والهندسة، حيث تُستخدم في دراسات الحركة والديناميكا الهوائية. |
| الكرة |
قانون حساب حجم الكرة
V = (4/3)πr^3
حيث إن:
V: حجم الكرة
r: شعاع الكرة و نصف قطرها
π: باي وتساوي قيمته تقريباً 3.14
تطبيق:
إذا كان لدينا كرة، نصف قطرها يبلغ 2 سم، يكون حجمها:
V = (4/3) × π× (2^3) = (4/3) × 3.14 × 8 = 100.48 سم³
قانون حساب مساحة سطح الكرة
S = 4πr^2
حيث إن:
S: مساحة سطح الكرة
r: نصف قطر الكرة
تطبيق:
إذا كان لدينا كرة بنصف قطر يبلغ 3 سم، تكون مساحة سطحها.
S = 4 × π × (3^2) = 4 × π ×9 = 113.04 سم²
الاسطوانة
الأسطوانة تعتبر واحدة من الأشكال الهندسية الثلاثية الأبعاد التي تتميز بسطحين دائريين متوازيين متطابقين وقاعدة مستطيلة تربط بينهما، مما يخلق شكلاً يشبه الأنبوب. يمكن تصورها كجسم تم إنشاؤه عن طريق تدوير مستطيل حول أحد جوانبه. |
| الأسطوانة |
قانون حساب حجم الاسطوانة
V = π.r^2.h
حيث إن:
V: حجم الأسطوانة
r: نصف قطر قاعدة الأسطوانة
h: ارتفاع الأسطوانة
تطبيق:
إذا كان لدينا أسطوانة نصف قطر قاعدتها يبلغ 3 سم وارتفاعها 5 سم، يكون حجمها.
V = π × (3^2) × 5 = 141.3 سم³
قانون حساب مساحة سطح الأسطوانة
S = 2.π.r^2 + 2.π.r.h
حيث إن:
S: مساحة سطح الأسطوانة
r: نصف قطر قاعدة الأسطوانة
h: ارتفاع الأسطوانة
تطبيق:
إذا كان لدينا أسطوانة طول نصف قطر قاعدتها يبلغ 3 سم وارتفاعها يبلغ 4 سم، تكون مساحة سطحها.
S = 2π × (3^2) + 2π × 3 × 4 = 18π + 24π = 131.88 سم²
المخروط
المخروط هو شكل هندسي ثلاثي الأبعاد يتميز بقاعدة دائرية وقمة واحدة تُعرف بالنقطة الرأسية. يمكن تخيل المخروط كهرم دائري، حيث تمتد جوانبه بشكل سلس من القاعدة الدائرية إلى النقطة الرأسية. يتميز المخروط بامتلاكه سطح جانبي منحني، والذي يمكن وصفه كقطاع دائري ملفوف حول نفسه. |
| المخروط |
قانون حساب حجم المخروط
V = (1/3).π.r^2.h
حيث إن:
V: حجم المخروط
r: نصف قطر قاعدة المخروط
h: ارتفاع المخروط.
تطبيق:
إذا كان لدينا مخروط نصف قطر قاعدته يبلغ 5 سم وارتفاعه 10 سم، يكون حجمه.
تطبيق:
V = (1/3).π × (5^2) × 10 = (1/3)π × 250 = 261.66 سم³
قانون حساب مساحة سطح المخروط
S = π.r^2 + π.r.ℓ
حيث إن:
S: مساحة سطح المخروط
r: نصف قطر قاعدة المخروط
ℓ: الارتفاع المائل للمخروط
تطبيق:
إذا كان لدينا مخروط نصف قطر قاعدته يبلغ 3 سم وارتفاعه المائل يبلغ 5 سم، تكون مساحة سطحه:
S = π × (3^2) + π × 3 × 5 = 9.π + 15.π = 75.36 سم²
المجسمات الفضائية في الرياضيات تشير إلى الأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد التي تشغل حيزًا في الفضاء.
تشمل هذه المجسمات المكعبات، الأسطوانات، الكرات، المخاريط، والهرمات، ولكل منها خصائص فريدة.
على سبيل المثال، المكعب له ستة أوجه مربعة متساوية، بينما الكرة لها سطح منحني دون حواف أو زوايا.
وتُستخدم هذه المجسمات في العديد من التطبيقات الهندسية والعملية، مثل تصميم المباني، الرسوم الهندسية، والبرمجة الحاسوبية ثلاثية الأبعاد.
فهم الخصائص الهندسية لهذه الأشكال، مثل الحجم والمساحة السطحية، يساعد في حل المشكلات الواقعية وتقديم حلول مبتكرة.