مسلمة التوازي لعالم الرياضيات اقليدس

بنى عالم الرياضيات اقليدس قوانين الهندسة الاقليدية على مسلمات بديهية ذكرها في كتابه العناصر و لا يمكن لأي انسان ان يشكك في صحتها. 

لكن مع ذلك فان المسلمة الخامسة من مسلمات اقليدس كانت محل جدل بالنسبة للكثير من علماء الرياضيات.

المسلمة الخامسة لاقليدس 

 وقد اعتبرها الاقدمون انها الشئ الوحيد في هندسة اقليدس الذي يشين هذه الهندسة و يقلل الى حد ما من بهائها وروعتها.

وتنص هذه المسلمة على أنه من أي نقطة خارج مستقيم ما يمر مستقيم وحيد يوازي المستقيم المذكور.

وأذا قطع قاطع للمستقيمين فينتج ما يلي:

• كل زاويتين متبادلتين داخليا تكونان متقايستان  (تكون على شكل حرف z)
• كل زاويتين داخليتين من نفس الجهة مجموع قيسهما يكون 180 درجة ( متكاملتان)
• كل زاويتين متماثلتان متقايستان

و تذهب الصيغة المعدلة للمسلمة الخامسة إلى أنه من نقطة خارجة عن مستقيم لا يمكن إنشاء أكثر من مستقيم واحد يوازي المستقيم الأول.

لكن هذه الصياغة ليست هي الصياغة الاصلية للمسلمة، بل أن الصياغة الاصلية تؤكد أنه إذا قطع مستقيمان مستقيماً ثالث وكانت زاويتا تقاطع المستقيمين الداخليتين مع المستقيم الثالث حادتين في إحدى جهتيه, فإن المستقيمين المفترضين يتقاطعان في هذه الجهة.

 و في صياغة أخرى تقول انه اذا تقاطع مستقيمان في نقطة ما فان مجموع الزاويتين الداخلتين اللتين يصنعهما هذان المستقيمان مع مستقيم ثالث يقطعهما اقل من قائمتين أو اقل من 180 درجة.

إذا كان مجموع الزاويتين الداخليتين α و β أقل من مائة وثمانين درجة (180°)، فإن المستقيمين إذا امتدا بشكل غير منته، يلتقيان في نقطة.

و قد رأى البعض من علماء الرياضيات أن هذه المسلمة تختلف في شكلها وبنائها عن باقى المسلمات الاخرى وان اقليدس قد احتاج للكثير من الكلمات لوصف هذه المسلمة بينما ما كان يميز باقى المسلمات الاخرى هي انها قصيرة وواضحة.

وتشكك البعض في ان كانت هذه مسلمة ام هي نظرية ينبغى برهانها بدلالة المسلمات الاخرى.

فشل محاولات برهنة المسلمة الخامسة

وحاول العديد من علماء الرياضيات كارشميدس و بطليموس و من بعدهم ثابت بن قرة و الطوسي و الكثيرون من غيرهم برهان المسلمة الخامسة بدلالة المسلمات الاخرى.

 ولكن كل محاولات هؤلاء قد باءت بالفشل وكان عالم الرياضيات الالمانى جاوس هو اول من ادرك ان هذه الفرضية لا يمكن اثباتها بدلالة المسلمات الاخرى بل ينبغى فرضها فرضا.

 ومن الممكن فرض فرضيات مخالفة للمسلمة الخامسة لنحصل في كل مرة على هندسة جديدة تتناسب مع المسلمة اللتي تم فرضها.

هندسات جديدة بخلاف هندسة اقليدس

توصل كل من علماء الرياضيات الروسي لوباتشيفسكي و المجري بولياي لهندسات جديدة بخلاف هندسة اقليدس. وتوصل كل منهما لنفس الهندسة بصورة مستقلة وبمعزل عن الاخر.

وقد فرض كل منهما اننا يمكننا رسم اكثر من موازي واحد لمستقيم من خلال نقطة تقع خارج هذا المستقيم.

ثم قام عالم الرياضيات الالماني ريمان بفرض افتراض اخر مفاده اننا لا يمكننا ان نرسم اي موازي لأي مستقيم من نقطة تقع خارجه.

ويمكننا تخيل هذه الفرضية بسطح الكرة الارضية. فخطوط الطول الموجودة فوق سطح هذه الكرة تمثل الخطوط المستقيمة لأننا لا يمكننا ان نجد خطوط اكثر استقامة من خطوط الطول الموجودة على سطح الكرة المقعر.

 كما اننا لا نستطيع من اى نقطة رسم خط طول يوازي خط طول اخر. لان خطوط الطول على سطح الكرة الارضية تتقاطع كلها عند القطبين. اى ان خطوط الطول كلها ليست متوازية.

الهندسة الاقليديه والهندسة اللاإقليديه

في الختام

 قد نشأ جدل تاريخي استغرق قروناً طويلة حول استقلالية مسلمة التوازي عن المسلمات الأخرى.و كان التساؤل المطروح يتعلق بإمكانية استنتاج مسلمة التوازي من المسلمات الأخرى باعتبار مسلمة التوازي بمثابة نظرية.