هندسة ريمان - الهندسة اللاإقليدية

هندسة ريمان نسبة الى عالم الرياضيات الألماني ريمان و تسمى أيضا بالهندسة الإهليلجية أو الهندسة الناقصة.

استبدل ريمان مسلمة التوازي التي أنشأها اقليدس  بالمسلمة التالية : من نقطة لا تقع على مستقيم معلوم لا يمكن رسم مستقيم لا يقاطع المستقيم المعلوم ، بعبارة أخرى المستقيمات المتوازية لا وجود لها في هذه الهندسة.

السطح الكروي و الخطوط المتوازية

ويمكننا تخيل هذه الفرضية بسطح الكرة الارضية، فخطوط الطول الموجودة فوق سطح هذه الكرة تمثل الخطوط المستقيمة لأننا لا يمكننا أن نجد خطوط أكثر استقامة من خطوط الطول الموجودة على سطح الكرة المقعر.

هندسة ريمان

 كما أننا لا نستطيع من أي نقطة رسم خط طول يوازي خط طول آخر، لأن خطوط الطول على سطح الكرة الأرضية تتقاطع كلها عند القطبين، أي أن خطوط الطول كلها ليست متوازية.

خصائص هندسة ريمان

تبنى هذه هندسة على سطح الكرة و من أهمّ مميزاتها نذكر:

• التقوّس في هذه الهندسة دائماً موجب.
• من نقطة ليست على مستقيم معلوم لا يمكن رسم مستقيم يوازي المستقيم المعلوم.
• المستقيمات في هذه الهندسة هي الدوائر العظمى على سطح الكرة.
• نسبة محيط الدائرة الى قطرها في هذه الهندسة أكبر من النسبة الثابتة.
• مجموع زوايا المثلث في هذه الهندسة أكثر من 180 درجة.

المثلث الكروي و مجموع زوايا المثلث

إذا أخذنا مثلث كروي، أي أنه موجود فوق سطح كرة و ضلعاه هما خطى طول ما فوق سطح الكرة الارضية بينما ضلعه الثالث يقع فوق خط الاستواء، فنجد أن كل زاوية بين خطى الطول وخط الاستواء على حدة تساوي 90 درجة أي أن مجموعهما هما الاثنين فقط يعطي 180 درجة.

و بالتالي يكون مجموع زوايا المثلث في هذه الهندسة أكثر من 180 درجة.

هندسة ريمان و نظرية فيثاغورس

من سمات هندسة ريمان أن نظرية فيثاغورس لا تسرى لحساب المسافة بين نقطتين إلا في حالة النقاط القريبة جدا من بعضها وبصورة تقريبية. أي أن نظرية فيثاغورث لحساب المسافة بين النقطتين تسري فقط بصورة موضعية.

تأثر ألبرت أينشتاين بهذه الهندسة

أحب أينشتاين هندسة ريمان، حيث ان هدفه كان الوصول الى قانون يحسب المسافة بين الأحداث في الزمكان الرباعى الابعاد، وحساب هذه المسافة ينبغي أن يكون على غرار قوانين مينكوفسكي التي هي في الحقيقة تطوير لنظرية فيثاغورس. 

وكما رأينا سابقا فان قانون فيثاغورث يعمل بصورة محلية بين النقاط القريبة في هندسة ريمان، و كان هذا ما يحتاجه اينشتاين تماما.

 ولحساب المسافة بين حدثين بعيدين عن بعضهما في الزمكان نستطيع ان نقسم المسافة بين هذين الحدثين البعيدين الى مسافات صغيرة على طول المسافة بين الحدثين. ثم نحسب كل مسافة صغيرة على حده ثم نجمع هذه المسافات لنحصل في النهاية على النتيجة النهائية.

ومن السطوح التي تتمتع بهذه الخاصية هو سطح شريط موبيوس فالخط على هذا السطح لا يفصل الصفحة الى نصفين و إنما يلتقي بداية الخط بانتهائه .

سطح شريط موبيوس

تضع هذه الخاصية الهندسة أمام واقعية جديدة و هي احتساب نقطتين على أطراف الخط، نقطة واحدة بالتالي ليس بالضرورة أن نعيّن أضلاع المثلث من خلال رؤوسه .